원주율 문서 원본 보기

==원주율에 숨겨진 비밀==

본인이 고딩때 미적분을 열심히 공부했다면 다음 식을 알것이다. (단, arctan {{수학|''x''}} 는 tan {{수학|''x''}} 의 역함수임)

  {{적분|0|t}} {{수직분수|1|1+''x''²}} {{수학|d''x''}} = arctan {{수학|''t''}} 

그런데 여기서 {{수직분수|1|1+''x''²}}은 테일러 전개할시(혹은 그냥 공비 {{수학|''-x''²}}무한등비급수라고 생각하면) 다음의 무항차 다항식으로 표현할 수 있다.

  {{수직분수|1|1+''x''²}} = 1 - {{수학|''x''}}{{위첨자|2}} + {{수학|''x''}}{{위첨자|4}} - {{수학|''x''}}{{위첨자|6}} +...+(-1){{위첨자|(n+1)}} * {{수학|''x''}}{{위첨자|2(n-1)}} +...

우항을 적분해 arctan {{수학|''x''}} 의 무한차 다항식 값을 구하면 다음과 같다.

  arctan {{수학|''x''}} = {{수학|''x''}} - {{수직분수|1|3}}{{수학|''x''}}{{위첨자|3}} + {{수직분수|1|5}}{{수학|''x''}}{{위첨자|5}} - {{수직분수|1|7}}{{수학|''x''}}{{위첨자|7}} +...+ (-1){{위첨자|(n+1)}} * {{수직분수|1|2n-1}}{{수학|''x''}}{{위첨자|(2n-1)}} +...

그런데 arctan 1 = {{수직분수|π|4}}이다(왜냐하면 tan{{수직분수|π|4}} = 1 이므로).

  π = 4 * { 1 - {{수직분수|1|3}} + {{수직분수|1|5}} - {{수직분수|1|7}} +...+ (-1){{위첨자|(n+1)}} * {{수직분수|1|2n-1}} +... }

즉 π는 4 곱하기 '''홀수역수의 무한한 합차'''이다!

그리고, 무한급수의 합에서 ㅈㄴ게 많이 등장한다. ∑{(1/n)^a}의 무한한 합차는 (π^2)/6이다.