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| {{공대생}}
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| {{이과}}
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| {{어려운게임}}
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| {{문과 노이해}}
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| == 개요 ==
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| {{과학}}
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| '''<center><font size=40><span style=" text-shadow: 0 1px 0 #EEEEEE, 0 2px 0 #DDDDDD, 0 3px 0 #CCCCCC, 0 4px 0 #BBBBBB, 0 5px 0 #AAAAAA, 0 6px 1px rgba(0,0,0,.1),0 0 5px rgba(0,0,0,.1),0 1px 3px rgba(0,0,0,.3),0 3px 5px rgba(0,0,0,.2),0 5px 10px rgba(0,0,0,.25),0 10px 10px rgba(0,0,0,.2),0 40px 40px rgba(0,0,0,.15);color:White;}">ʃ</span></font></center>'''
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| 미분-적분 순으로 배운다고 치면 아무래도 적분이 더 쉽게 익숙해진다.
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| [[미분]] 거꾸로 (제1 미적분학 기본정리)
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| ⇒미분을 거꾸로하면 적분이라는 말은 정의로는 옳지만, 그건 적분을 정확하게 이해한 차원에서의 것이 아니다. 적분을 잘하기 위해선 '넓이'와 적분의 연관성을 항상 염두해 두어야 한다.
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| 적분(積分)이란 쌓을 적(積)에 나눌 분(分), 즉 나누어서 쌓는다는 의미로 잘게 나누어 모두 더하는, [[미분]]의 역연산이다. {{~~|赤糞(적분) 아니다.}}
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| 적분은 고등학교 과정에서 크게 정적분과 부정적분으로 나누는데, 다음과 같다.
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| ===정적분===
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| 정적분(定積分)이란 정(定)해진 적분이란 뜻으로, 정해진 구간사이의 적분값을 직접 구하는 적분이다.
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| *예) 0부터 1까지 f(x)= x의 정적분은 x축과 f(x), x=0과 x=1로 둘러싸인 직각이등변삼각형의 넓이가 된다. 계산해보면 1*1/2=0.5가 된다. f(x)=-x일때는 똑같은 직각이등변삼각형의 넓이지만 삼각형이 x축 밑에 있으므로 적분값은 마이너스를 붙여 -0.5가 된다.
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| 이 예시만 보면, 정적분을 단순히 '넓이'라 생각하는 오류를 범할 수 있는데, 보다 엄밀히 말하자면 x축을 기준으로 +와-의 방향성을 가진 넓이라 볼 수 있다.
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| ===부정적분===
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| 부정적분(不定積分)은 정해지지 않은(不定) 적분이란 뜻으로 도함수로부터 구할 수 있는 모든 종류의 원시함수(미분해서 도함수로 만들기 전의 함수)를 임의의 상수 C를 추가해 표현한다.
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| *예) G(x)=x^2+C(C는 임의의 상수)라 하고 g(x)=2x라 하면 C가 어떤 수이든 간에 G(x)를 미분하면 g(x)가 되므로 G(x)는 g(x)의 원시함수이다.
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| 앞의 예시에선 그냥 도함수와 원시함수를 제시하고 설명했지만, 도함수로부터 몰랐던 원시함수를 구하는 과정을 부정적분이라한다. 부정적분은 '방향성을 가진 임의의 넓이'에 대한 함수로 이해할 수도 있다.
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| ===기타===
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| 적분을 이해하기 위해서는 극한과 급수의 개념에 대한 이해가 필요하다. 공부하기 전에 원의 넓이를 구하거나 원뿔의 부피 등을 구하는 구분구적법을 공부하고 정적분을 공부하면 적분의 논리를 이해하기가 더 쉬울 것이다.
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| 흔히 '미적분'이라 얘기할때 미분을 적분보다 앞서 나오고, 미분을 먼저 배우므로 마치 미분이 적분의 토대인 것 같은 느낌이 들겠지만,
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| 아이러니하게도, 미분보다 적분이 먼저 발견되고, 발전하였다. (앞서 말한 구분구적법이 적분의 가장 기초라 볼 수 있다.)
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| 학교 교과서의 논리를 자연스럽게 따라가면 이해하기가 매우 쉽다. 뭐가뭔지 모르겠는 사람은 교과서를 정독해보자.
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| 근데 왜 미분을 먼저 배우냐면 미분이 없는 적분은 계산이 조오오오오오오오온나 어렵기 때문이다.
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| 狄糞(오랑캐똥), 赤糞(빨간똥)
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| 티끌모아태산
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| 기하와 벡터와 함께 대학 논술문제들의 단골주제이다. 하지만 난이도는 이게 더 좆같다. 기하와 벡터는 공간감각과 도형원리만 익히면 어느 정도 해결되지만 적분은 그냥 좆같다.
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| '''미분! 적분! 이차함수!'''
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| ==적분의 간단한 해설==
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| 적분 어렵지 않아요~
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| 쉽게 물통에 10초동안 반의 물이 차면 어떤 순간에 물이 차는 비율들의 그래프를 적분한 결과는 물통에찬 물의 양이다.
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| '''이런 개좆도 쓰잘데기 없는짓을 어째서 하는가?'''
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| 물이 찔끔찔끔 나오고 수시로 나오는양이 달라지는데, 저런 물통이 없고 나오는양만 알때 흔히 사용한다.
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| 쉽게 모든걸 다 더한거다 ㅇㅇ?
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| == 진짜 개요 ==
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| {{이해 어려움}}
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| {{성물}}
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| '''적분이 없었다면 지금의 인류 문명은 만들어질 수 없었다.'''
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| 위에서 볼 때 완전한 원이 아닌 너의 대가리의 넓이를 구할 때 사용한다. (사실 원의 넓이공식을 구할때도 적분의 개념이 이용된다.)
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| 적분은 고대 이집트 시절 나일강의 범람으로 인해 바뀐 토지면적을 지주들에게 측량, 계산해 알려주기 위하여 생겨났다.
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| 고딩 때 올라오면 보이는 기본식. [[인테그랄]]이 보인다.
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| [[파일:적분 기본 꼬라지.png]]
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| === 이dx는 어따 쓰는 긴고? ===
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| 흔히 정적분을 근사할때 리만 합을 사용하는데
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| △x(x의 변화량)가 n이 무한대에 다가감에 따라 매우 작아진다.
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| 이 때 dx는 매우작은 △x 값(미분소;텐서량)을 의미하며 인테그랄(∫)은 구간 (a,b) 에서 모두 '더한다'는 뜻이다.(∫는 Sum-의 s를 길게 늘려 쓴것.)
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| 이 때, 더하는 값은 'c∈(a,b)인 f(c)와 그 때 매우작은 dx의 값을 곱한 값' 이다.
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| dx에 대한 더욱 엄밀한 정의가 있지만, 굳이 어려운 내용을 적을 필요는 없을 것 같다. 구간 (a,b)사이의 차이를 매우 근소한 x₁과 x₂사이의 변화량 정도로만 이해하는 고등학교 수준의 설명 정도로 끝내도 적당하다.
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| 인테그럴 기호 옆에 구간만 [a,b]라고 정확하게 기재하면 dx는 필요 없다. 니가 머학가서 미적 시험때 dxdy도 적분기호옆에 구간만 정확하면 필요 없다.
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| 그러나 간혹, 틀렸다고 채점당했을 때, 니가 아규먼트로 교수든 교사든 이길 확률은 0에 수렴하므로 찌질댈거면 그냥 dx dy 전부 적는게 좋다.
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| == 구분구적법 ==
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| 적분의 기초. 도형을 세분하여 각 부분의 넓이나 부피를 구한 후, 이들의 합의 극한값으로 본래의 도형의 넓이 또는 부피를 구하는 방법이다. 주로 니가 잘 아는 도형의 넓이(사각형, 원, 원기둥)를 이용해 구하는거다. 고등학교에서 정적분을 배우기 전에 나오는 거다. 이거 은근 귀찮다. 초딩 후반 때 부터 현재 고2 극한 단원까지의 지식을 어느정도 끌어다 와야된다. 선분의 분할, 그리고 수열과 관련된 공식 등등등등..
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| 거기다가 은근 귀찮다. 시간도 오래걸리고... 계산 실수하면 빡치는거다.
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| 그래서 막상 시험칠 때 이런거는 빈칸 쳐넣기가 많다.
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| 이걸 이용하면 삐뚤빼뚤하거나 이상하게 생긴 도형들의 넓이를 구하는 게 가능해진다.
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| == 종류 ==
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| {{ㄴ충}}
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| 적분은 크게 세가지로 나눌 수 있는데 우선 미분의 역연산으로서 정의되는 부정적분, 리만이 정의한 정적분, 그리고 특수한 경우인 이상 적분으로 구분된다.
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| * 부정적분은 미분의 역산이다. 미분 거꾸로가 여기서 나옴.
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| [[파일:부정적분.png]]
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| * 정적분은 리만합의 극한으로 정의된다. 만약 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이라면 미적분의 기본정리에 의해 다음과 같이 구할 수 있다.
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| [[파일:정적분 계산.png]]
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| * 이건 고딩 때 나오는 거다.
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| [[파일:정적분 또다른 계산.png]]
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| * 이상적분은 적분 구간이 무한대이거나 적분 구간에서 함수가 발산하는 점이 있는 경우이다. 당연히 [[수열의 극한|극한]]의 개념이 필요하다.
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| [[파일:이상적분.png]]
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| == e{{위첨자|(x{{위첨자|2}})}}같이 부정적분이 초등함수로 안나오거나 부정적분(anti derivative)을 못하는 2개 이상 변수라면? ==
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| 학식 1학년 수준에서는 테일러 급수로 나타내서 적분하는 방법도 있고 혹은 사다리꼴 공식,포물선 공식 등으로 수치적분하는 방법이 있다.
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| 2개 이상의 변수는 잘 모르겠다. 이때는 보통 [[편미분]] 방정식일텐데 원시함수가 함수들의 곱꼴이라 가정하고 미분방정식을 푸는 변수분리법이라는게 있는데 그거 빼고는 잘 모르겠다.
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| [[추가바람]]
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| ㄴ유계수열인지 확인하고 극좌표 또는 구면좌표로 치환해서 수치적분시킨다 물론 존나게 한정적인 함수만 가능 고로 안될만한건 안된다
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| 근데 수학과 대학원과정 에서는 푼다는데 뭘 어떻게 하는거?
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| == 함수에서의 적분 ==
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| 곡선과 x축 사이의 넓이. 두곡선 사이의 넓이(적분차). 그러하다. 무리함수나 로그, 삼각, 무리함수+삼각 혼합 등 으로 가면 머가리가 터진다하더라.
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| == 전공수학에서 적분 ==
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| 니들이 고등학교때 했던 x sinx 적분질 이딴거 전공수학에서 안한다. 적분은 [[해석학]]에서 다루므로, 관심이 있다면 [[해석학|이 문서]]로 가도록.
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| 적분에는 여러 종류가 있다. 해석학에서는 니들이 아는 리만적분, 그리고 니들이 모르는 리만-스틸체스 적분을 다룬다. 적분도 계산질 적분이 아니라 '적분 가능'에 대해서 다룬다. 핵노잼 수능공부하는 고딩들은 "아니 연속함수면 적분 가능하지 그게 뭐가 어려워"할지도 모른다. 하지만 연속함수가 아니어도 적분 가능하다.
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| x<0일때 f(x)=1이고, x>=0일때 f(x)=2인 함수를 생각해 보아라. 이 함수는 폐구간 [-1, 1]에서 연속이 아니다. 근데 이 구간에서 적분한 결과가 3이라는 것에 태클거는 놈은 아무도 없을 것이다.
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| 그래서 이처럼 보면 알겠지만 불연속점이 띄엄띄엄 있고 나머지는 연속인 함수도 적분이 잘 정의된다. 이것을 '조각 연속(Piecewise continuous)'라고 부른다. 이과면 이정도는 알아먹겠지?
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| 근데 문제는 '띄엄띄엄'이란 애매한 표현을 수학에서는 절대 용납하지 않는다는 것이다. 이런 함수를 생각해 보자.
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| x가 유리수일때 f(x)=1, 그 외에 f(x)=0
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| 유리수는 아무리 작은 구간을 작아도 그 안에 존나 많이 들어있다(전공수학에선 이것을 보고 dense하다고 한다). 이걸 보고 띄엄띄엄하다고 생각하는 놈은 80% 확률로 수학과 학생이다.
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| 이 함수는 적분 가능할까? 결론은 리만적분 불가능하다. 모든 점에서 불연속이기 때문이다.
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| 적분 가능을 논하기 위해 우리는 불연속점들의 집합의 성질을 알아야 한다. 불연속점이 유한하면 적분 가능하다는 것은 직감이 올 것이다. 머리가 터질 것 같은 너를 위해 결론만 적자면, 다음과 같다.
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| "불연속점의 집합이 measure zero이면, 리만적분 가능하다."
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| 뭔 개소린지 모르겠는가? measure는 측도론에서 나오는 개념이다. [https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B8%A1%EB%8F%84 읽어봐라.] 물론 읽어봐도 모를 것이다. 이렇듯 리만적분만 봐도 존나 머리아프다.
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| 자 근데 이러한 리만적분의 한계점을 극복하기 위해 르베그라는 미친 수학자가 '르베그 적분'이라는 이상한 개념을 만들어냈다. 이걸 이해하려면 측도론을 정말 제대로 알아야 한다. 위에서 말한 저 함수를 르베그 적분하면 놀랍게도 적분 가능하다. 그리고 그 결과는 항상 0이다. 유리수는 measure zero이기 때문이다.
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| 자세한건 [[해석학]]이나 르베그 적분론에서 공부해 보도록.
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| [[분류:수학]]
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| [[분류:빡센 게임]]
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