0.99...=1

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이 명제는 참이다. 증명은 아래 문단들을 참고.

현재 디시위키에서 이와 관련하여 병림픽이 현재진행형으로 벌어지고 있다. 병신들의 향연을 보고 싶다면 0.999.... 문서로 가자.

ㄴ 수포자의 질문 x=0.5 10x=5.5 10x-x=5.5-0.5 9x=5 x=5/9=0.5 계산기 두드려봤는데 5÷9하니까 0.555...나오더라 여기서 궁금한게 0.5에서 소숫점 뒷자리에 5 를 더 붙히면 0.5<0.55 마찬가지로 반복해서 0.55<0.555 0.555<0.5555...이런식일탠데 위의 계산법에 따르면 0.555...=0.5 라고했는데 소숫점 뒷자리에 숫자를 추가하면 할수록 커지다가 그 수를 무한히 추가하면 다시 숫자가 작아지는건 이상한거 아니냐? 0.5=0.555...<0.55  ???

ㄴ 뭔 소리냐 대체? 0.5=5/9라는 공식이 어디서 나오는거임? 0.5땡=5/9라고 말하는건가 싶은데 그러면 뒤쪽 주장이 문맥상 안 맞는데?

너 식을 보면 x=0.5면서 10x=5.5라고 써 놨는데, 이건 땡이 있을 때 말이고 땡 없으면 x가 0.5일 때 당연히 10x는 5임. 땡 있으면 0.5땡=0.5555...=5/9라는 당연한 결과가 나오고, 땡 없으면 x가 0.5인데 10x가 5.5라는 가정 자체가 잘못되었기 때문에 너님 주장이 어긋남. 네 주장이 어느 쪽인지 모르겠으니 어느 쪽인지를 써놔라. 그래야 설명을 해주든 말든 하지.

극한배우면 왜 1인지 안다는데

ㄴ수포자도 미적분1 첫장만 봐도 이해할수 있을 수준이니 펼쳐보고도 왜 이게 맞는지 이해가 가지 않는다면 뛰어내려도 좋다

증명

중학교에서 배우는 가장 기초적인 증명

사실 이방법은 증명이라 할 수 없다. 1 = 0.999... 라는 사실을 엄밀하게 설명할 수 없기 때문이다.

귀류법을 사용한 증명

0.99999999999..... < 1이라고 가정하자. 임의의 실수 a, b에 대하여 a < b가 참일 때 a < c < b인 임의의 실수 c가 반드시 존재한다. (실수의 조밀성) 즉 a = 0.999..., b = 1이라고 가정한다면 (a + b)/2인 실수가 반드시 존재한다. 하지만 소숫점 밑으로 9가 무한히 반복하는 상황에서 맨 뒤에 또 다른 자리수를 붙이는 것은 의미가 없다. 예를 들어 a와 b의 중간값으로 0.99999.......5라고 하는 것은 옳은 결과값이 아니다. 0.99999.....5는 9가 n번 반복하는 상황(n은 임의의 실수)에서 소숫점 아래 n+1번째 자리가 5인 유한소수이다. (0.999...의 무한(uncountable infinity)과 다르게 0.999...5의 무한은 셀 수 있는 무한대로(countable infinity) 개념 자체가 다르다.) 그러므로 0.9999999.... < 0.9999999....5는 참이라고 볼 수 없다. 즉 0.999...와 1 사이에 실수가 존재할 가능성은 0에 수렴하므로, 실수의 조밀성을 위반하기 때문에 위의 가정은 모순이다. 따라서 0.999... = 1이다.

ㄴ 마찬가지 방법으로 이번엔 b를 0.999... 이라고 놓아보자 그렇다면 b보다 작은 이 전의 숫자가 존재할것이다 이 숫자를 이과생들은 어찌 표현하는진 모르겠지만 편의상 0.999...8이라고 하자(끝이 8로 끝나는 유한소수가 아니니 착각하지마라)다시 이것을 a라고 치자 일반적인 상식에 의하면 a <b겠지만 위의 똑똑하신 이과충님의 실수의 조밀성에 의한 증명에 따라 a=b가 된다 다시 이번엔 a를 b로 두고 역시나 이 숫자보다 작은 0.999...7이라는 숫자는 반드시 존재한다 이런식으로 나아가다보면 언젠간 a값은 0 이 될것이다 근대 1=0.999...이라고 했다 그럼0.999...=0.999...8=0.999...7=...=0 이 된다 이번엔 반대로 한없이 올라가보자 그럼 a=b=무한대가되겠지 결론은 0=1=2=3=...=무한대가 된다

위와 같은 증명에 따라 나의 키는 173이 아니라 187이다 왜냐면 173=187이니까

ㄴ 느가 실수의 조밀성 자체를 잘못 이해하는거다. 일단 a와 b란 서로 다른 두 실수가 있을 때, 두 실수 a, b 사이의 숫자는 무한하게 많다. 만약 a와 b 사이에 어떠한 실수도 없다면 그건 a=b를 의미하는거지, a와 b 사이에 어떤 수도 없는데 a≠b라고 주장하는 것 자체가 에러임.

기타

수열의 극한을 이용한 증명, 1/3 = 0.3333...을 이용한 증명 등 무궁무진하다.

유리수 범위에서의 증명

증명 과정은 가능한 풀어서 쓰겠다. 우선 유리수, 그러니까 분모(물론, 0이 아녀야 한다.)와 분자가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수에 대해 다음이 성립한다.

아르키메데스 성질. 모든 0보다 큰 유리수 a/b에 대해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 유리수 c/d보다 크게 만들 수 있다. 수식으로 표현하면, n×a/b≥c/d인 n이 존재한다.

쉽게 한 가지 예를 들면 1/999에 어떤 자연수 n을 곱하면 큰 수 999보다 크게 만들 수 있다. n을 1000000정도로 하면, 1001.001001001...이 되어 999보다 크다. 큰 수가 999보다 더 커도 n을 충분히 크게 하면 상관 없다.

증명. 명제가 거짓이라면 어떤 0보다 큰 유리수 a/b는 암만 큰 자연수 n을 곱해도 어떤 유리수 c/d보다 작아야 한다. 수식으로 표현하면, n×a/b<c/d이어야 한다.

물론 c와 d 중에 하나가 음의 정수든지 해서 c/d가 0보다 크지 않다면 애초에 a/b보다 작으므로 따져 볼 필요도 없다. 그러니까 c와 d가 모두 자연수인 경우만 고려하면 된다.

부등식의 양변에 bd를 곱해서 이항하면 0<cb-n(ad)이 되고 이는 자연수여야 한다. 하지만 자연수는 작은 쪽으로는 한도가 있지만 큰 쪽으로는 한도가 없다는 특징이 있다.

어떤 큰 자연수 n에 대해서 cb-n(ad)가 0보다 크다고 해도, n+1, n+2, ...는 더 큰 자연수이므로 cb-(n+1)ad, cb-(n+2)ad, ...로 더 작은 수를 얼마든지 만들 수 있다.

따라서 cb-n(ad)가 0보다 커야 한단 제한이 있는 이상, 하다못해 -10000보다 커야 한단 제한이 있대도 n이 커지면 cb-n(ad)는 언젠가 그보다 작아질 수밖에 없다. 그러므로 이 명제는 참이다.

이제 0.9, 0.99, 0.999와 같은 것들이 유리수이니 순환소수인 0.999...도 유리수로 정의될 수 있고, 그러면 유리수 범위에서 0.999...=1을 증명할 수 있다.

명제. 유리수 범위에서, 0.999...=1이다. 수식으로 표현하면, 0.999...+e=1인 e는 0 이외에 없다.

증명. 0.999...가 유리수이면 e=1-0.999...도 유리수이다. 이것이 0이 아니라면, 0.999...>1은 아닐 것이므로 0보다 큰 유리수이다.

그러니 위에서 증명한 아르키메데스 성질에 의해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 유리수보다 크게 만들 수 있다. 1≤ne≤2를 만족하는 자연수 n 가운데 하나를 골라 k라고 하겠다.

그러면 k×0.999...+ke=k에서 k-2≤k×0.999...≤k-1인데, k는 유한한 자연수이므로 어떤 유한소수 0.99...9의 9의 개수를 k로 하여 k-1<k×0.99...9를 만들 수 있다.

쉽게 한 가지 예를 들어 9의 개수를 11로 두면 10<11×0.99999999999=10.99999999989처럼 k가 1이 늘어나면 끝 자리 수만 ...1씩 줄어드는데 9의 숫자가 하나 늘면 k의 열 배의 효과를 내기 때문에 얼마든지 k-1<k×0.99...9인 유한소수 0.99...9를 만들 수 있다.

따라서 0.999...≠1이면 어떤 유한소수 0.99...9에 대해 0.99...9>0.999...란 결론이 나온다. 여기서 양변에 10^k를 곱하면 99...9>99...9.999...가 되어 0>0.999...가 된다.

0.999...=1이면 이런 문제는 깨끗이 사라지고 이 명제는 참이다.

실수 범위에서의 증명

유리수 체계와 실수 체계는 엄연히 다른 체계이기 때문에 유리수 범위에서 0.999...=1을 증명한 건 실수 범위에서 증명하는 것과는 별개이고, 수학적 증명은 절대적인 진리를 의미하지 않는다는 점을 유념하길 바란다. 실수 범위에서 0.999...=1을 증명하기 위해 우선 유리수를 실수로 확장하는 과정을 개략적으로 살펴보겠다.

자연수 n이 커질수록 x-a_{n}의 절댓값이 0을 향할 때 수열 a_{n}은 x에 가깝다고 하겠다. x^2=2의 양수인 해 √2에 가까운 수열은 여러 가지가 있는데, 점화식 a_1=1, a_{n+1}=a_{n}/2+1/a_{n}으로 나타나는 수열이나 그저 한 자리씩 늘려 쓴 {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...}가 그 예다.

두 가지 수열의 공통점은 모든 항이 유리수라는 것이고 게다가 무리수에 가깝다는 것이다. 이렇게 유리수에서 빈틈이 보이니 채워 넣을 수 체계를 구성하려면, 간단한 발상은 아무래도 √2에 가까운 무수히 많은 수열을 모은 그 자체를 √2란 수로 '정의'하는 것이고 실제로 모든 실수를 이렇게 정의할 수 있다.

모든 항이 유리수인 모든 수열이 점근하는 모든 값들을 각각의 실수라고 정의한 게 다다. 가깝다는 표현을 수렴한다는 용어로 고쳐 쓰면 위의 과정은 곧 그 유명한 극한의 정의인 엡실론-델타 논법으로 정착된다. 극한과 연관 짓는 게 정 마음에 안 든다면 다른 구성 방법은 얼마든지 있으니 참고하길 바란다.[1]

첫 번째 증명

실수의 정의에 의해서 실수 자체가 수열의 극한값이라고 할 수 있으므로 고등학교 때 배우는 증명인 다음과 같은 설명으로도 충분하다.

0.999...=9/10+9/100+9/1000+...=∑_{n=1}^{∞} 9/10^{n}=1

두 번째 증명

수열의 극한값이 되는 빠진 점들을 채운 게 실수니까 모든 항이 실수인 모든 수렴하는 수열의 극한값도 실수이다. 따라서 실수에 대해서도 아르키메데스 성질이 성립하고, 유리수에서와 같은 논리로 실수 범위에서도 0.999...=1을 증명할 수 있고 이제 모든 두 실수 사이에는 적어도 하나의 유리수가 존재한다.

아르키메데스 성질. 모든 0보다 큰 실수 x에 대해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 실수 y보다 크게 만들 수 있다. 수식으로 표현하면, nx≥y인 n이 존재한다.

증명. 명제가 거짓이라면 어떤 0보다 큰 실수 x는 암만 큰 자연수 n을 곱해도 어떤 실수 y보다 작아야 한다. 수식으로 표현하면, nx<y이어야 한다.

물론 y가 0보다 크지 않다면 애초에 x보다 작으므로 따져 볼 필요도 없다. 그러니까 y가 양의 실수인 경우만 고려하면 된다.

자연수 n이 커지면 nx도 커지는데 y보다 작다면 {x, 2x, 3x, ...}와 같은 수열은 y보다 크지 않은 어떤 값에 수렴할 것인데, 이 값을 c라 하겠다.

어떤 큰 자연수 k에 대해서 kx가 c-x보다 크다고 하면 (k+1)x는 c보다 크므로 nx는 언젠가 c보다 큰 값을 가진다. 수열은 수렴하지 않고 이 명제는 참이다.

세 번째 증명

본래 무한급수의 뺄셈을 함부로 해서는 안 된다. 위의 항목에도 언급된 중학교 때 배우는 가장 기초적인 증명이 엄밀성이 부족하다고 알려진 이유이기도 하다.

　　1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...=ln2

-)　1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+...=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+...=(ln2)/2

　　0?　　　　　　 　　　　　　=(ln2)/2

두 무한급수는 모든 항이 유리수이고 실수로 수렴하지만 함부로 연산할 수 없다. 무한급수의 뺄셈을 통한 0.999...=1의 증명이 틀렸다는 게 아니라, 그 방법의 타당성을 검증하는 과정이 필요하다는 뜻이다. 그런 고로 다음 명제를 소개하겠다.

명제. ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|이 수렴하면, ∑_{n=1}^{∞} a_{n}은 다르게 배열해도 같은 값에 수렴한다.

증명. 다르게 배열한 순서는 원래 순서의 자연수 n에서 함수 f(n)으로의 일대일 대응으로 볼 수 있다. 어떤 큰 자연수 N에 대해서 f(1), f(2), ..., f(N)들 가운데 제일 큰 것을 M이라고 하겠다.

a_{n}의 모든 항이 양수라고 하면 다르게 배열한 수열은 a_{f(n)}으로 쓸 수 있고, f(1), f(2), ..., f(N)은 1, 2, ..., M에 포함되어서 a_{f(1)}+a_{f(2)}+...+a_{f(N)}은 a_{1}+a_{2}+...+a_{M}을 넘을 수 없다.

원래의 순서는 다르게 배열한 순서의 자연수 n에서 함수 g(n)으로의 일대일 대응, 그러니까 역함수 f^{-1}(n)로 볼 수 있다. 그러면 a_{g(1)}+a_{g(2)}+...+a_{g(N)}은 a_{1}+a_{2}+...+a_{M}을 넘을 수 없다.

그런데 |a_{n}|이 수렴하므로 원래의 무한급수든 다르게 배열한 무한급수든 어떤 값보다는 작아야 하고, 그런 제한이 있는 이상 a_{n}은 모든 항이 양수인 급수의 합과 차로 나눌 수 있으니 이 명제는 참이다.

그렇다면, 0.999...≠1일 수는 없을까?

사실은 0.999...≠1인 수 체계를 고안해도 상관없다.[2] 칸토어가 말했듯 수학의 본질은 그 자유로움에 있다.

보통의 실수를 대체할 소용이 다른 체계에 없어서 수 체계를 쓸모 있게 확장한 결과가 0.999...=1일 뿐이다.

실수 체계가 직관에 맞을 거라 착각할 이유도 없고, 수라는 건 실수든 허수든 실체가 없는 추상적인 개념이다.