0.99...=1

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이 명제는 참이다. 증명은 아래 문단들을 참고.

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ㄴ 수포자의 질문 x=0.5 10x=5.5 10x-x=5.5-0.5 9x=5 x=5/9=0.5 계산기 두드려봤는데 5÷9하니까 0.555...나오더라 여기서 궁금한게 0.5에서 소숫점 뒷자리에 5 를 더 붙히면 0.5<0.55 마찬가지로 반복해서 0.55<0.555 0.555<0.5555...이런식일탠데 위의 계산법에 따르면 0.555...=0.5 라고했는데 소숫점 뒷자리에 숫자를 추가하면 할수록 커지다가 그 수를 무한히 추가하면 다시 숫자가 작아지는건 이상한거 아니냐? 0.5=0.555...<0.55  ???

ㄴ 뭔 소리냐 대체? 0.5=5/9라는 공식이 어디서 나오는거임? 0.5땡=5/9라고 말하는건가 싶은데 그러면 뒤쪽 주장이 문맥상 안 맞는데?

너 식을 보면 x=0.5면서 10x=5.5라고 써 놨는데, 이건 땡이 있을 때 말이고 땡 없으면 x가 0.5일 때 당연히 10x는 5임. 땡 있으면 0.5땡=0.5555...=5/9라는 당연한 결과가 나오고, 땡 없으면 x가 0.5인데 10x가 5.5라는 가정 자체가 잘못되었기 때문에 너님 주장이 어긋남. 네 주장이 어느 쪽인지 모르겠으니 어느 쪽인지를 써놔라. 그래야 설명을 해주든 말든 하지.

증명

중학교에서 배우는 가장 기초적인 증명

사실 이방법은 증명이라 할 수 없다. 1 = 0.999... 라는 사실을 엄밀하게 설명할 수 없기 때문이다.

귀류법을 사용한 증명

0.99999999999..... < 1이라고 가정하자. 임의의 실수 a, b에 대하여 a < b가 참일 때 a < c < b인 임의의 실수 c가 반드시 존재한다. (실수의 조밀성) 즉 a = 0.999..., b = 1이라고 가정한다면 (a + b)/2인 실수가 반드시 존재한다. 하지만 소숫점 밑으로 9가 무한히 반복하는 상황에서 맨 뒤에 또 다른 자리수를 붙이는 것은 의미가 없다. 예를 들어 a와 b의 중간값으로 0.99999.......5라고 하는 것은 옳은 결과값이 아니다. 0.99999.....5는 9가 n번 반복하는 상황(n은 임의의 실수)에서 소숫점 아래 n+1번째 자리가 5인 유한소수이다. (0.999...의 무한(uncountable infinity)과 다르게 0.999...5의 무한은 셀 수 있는 무한대로(countable infinity) 개념 자체가 다르다.) 그러므로 0.9999999.... < 0.9999999....5는 참이라고 볼 수 없다. 즉 0.999...와 1 사이에 실수가 존재할 가능성은 0에 수렴하므로, 실수의 조밀성을 위반하기 때문에 위의 가정은 모순이다. 따라서 0.999... = 1이다.

ㄴ 마찬가지 방법으로 이번엔 b를 0.999... 이라고 놓아보자 그렇다면 b보다 작은 이 전의 숫자가 존재할것이다 이 숫자를 이과생들은 어찌 표현하는진 모르겠지만 편의상 0.999...8이라고 하자(끝이 8로 끝나는 유한소수가 아니니 착각하지마라)다시 이것을 a라고 치자 일반적인 상식에 의하면 a <b겠지만 위의 똑똑하신 이과충님의 실수의 조밀성에 의한 증명에 따라 a=b가 된다 다시 이번엔 a를 b로 두고 역시나 이 숫자보다 작은 0.999...7이라는 숫자는 반드시 존재한다 이런식으로 나아가다보면 언젠간 a값은 0 이 될것이다 근대 1=0.999...이라고 했다 그럼0.999...=0.999...8=0.999...7=...=0 이 된다 이번엔 반대로 한없이 올라가보자 그럼 a=b=무한대가되겠지 결론은 0=1=2=3=...=무한대가 된다

위와 같은 증명에 따라 나의 키는 173이 아니라 187이다 왜냐면 173=187이니까

ㄴ 느가 실수의 조밀성 자체를 잘못 이해하는거다. 일단 a와 b란 서로 다른 두 실수가 있을 때, 두 실수 a, b 사이의 숫자는 무한하게 많다. 만약 a와 b 사이에 어떠한 실수도 없다면 그건 a=b를 의미하는거지, a와 b 사이에 어떤 수도 없는데 a≠b라고 주장하는 것 자체가 에러임.

기타

수열의 극한을 이용한 증명, 1/3 = 0.3333...을 이용한 증명 등 무궁무진하다.

유리수 범위에서의 증명

증명 과정은 가능한 풀어서 쓰겠다. 우선 유리수, 그러니까 분모(물론, 0이 아녀야 한다.)와 분자가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수에 대해 다음이 성립한다.

아르키메데스 성질. 모든 0보다 큰 유리수 a/b에 대해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 유리수 c/d보다 크게 만들 수 있다. 수식으로 표현하면, n×a/b≥c/d인 n이 존재한다.

쉽게 한 가지 예를 들면 1/999에 어떤 자연수 n을 곱하면 큰 수 999보다 크게 만들 수 있다. n을 1000000정도로 하면, 1001.001001001...이 되어 999보다 크다. 큰 수가 999보다 더 커도 n을 충분히 크게 하면 상관 없다.

증명. 명제가 거짓이라면 어떤 0보다 큰 유리수 a/b는 암만 큰 자연수 n을 곱해도 어떤 유리수 c/d보다 작아야 한다. 수식으로 표현하면, n×a/b<c/d이어야 한다.

물론 c와 d 중에 하나가 음의 정수든지 해서 c/d가 0보다 크지 않다면 애초에 a/b보다 작으므로 따져 볼 필요도 없다. 그러니까 c와 d가 모두 자연수인 경우만 고려하면 된다.

부등식의 양변에 bd를 곱해서 이항하면 0<cb-n(ad)이 되고 이는 자연수여야 한다. 하지만 자연수는 작은 쪽으로는 한도가 있지만 큰 쪽으로는 한도가 없다는 특징이 있다.

어떤 큰 자연수 n에 대해서 cb-n(ad)가 0보다 크다고 해도, n+1, n+2, ...는 더 큰 자연수이므로 cb-(n+1)ad, cb-(n+2)ad, ...로 더 작은 수를 얼마든지 만들 수 있다.

따라서 cb-n(ad)가 0보다 커야 한단 제한이 있는 이상, 하다못해 -10000보다 커야 한단 제한이 있대도 n이 커지면 cb-n(ad)는 언젠가 그보다 작아질 수밖에 없다. 그러므로 이 명제는 참이다.

이제 0.9, 0.99, 0.999와 같은 것들이 유리수이니, 순환소수인 0.999...도 유리수라고 가정하고 유리수 범위에서 0.999...=1을 증명할 수 있다.

명제. 유리수 범위에서, 0.999...=1이다. 수식으로 표현하면, 0.999...+e=1인 e는 0 이외에 없다.

증명. 0.999...가 유리수이면 e=1-0.999...도 유리수이다. 이것이 0이 아니라면, 0.999...>1은 아닐 것이므로 0보다 큰 유리수이다.

그러니 위에서 증명한 아르키메데스 성질에 의해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 유리수보다 크게 만들 수 있다. 1≤ne≤2를 만족하는 자연수 n 가운데 하나를 골라 k라고 하겠다.

그러면 k×0.999...+ke=k에서 k-2≤k×0.999...≤k-1인데, k는 유한한 자연수이므로 어떤 유한소수 0.99...9의 9의 개수를 k로 하여 k-1<k×0.99...9를 만들 수 있다.

쉽게 한 가지 예를 들어 9의 개수를 11로 두면 10<11×0.99999999999=10.99999999989처럼 k가 1이 늘어나면 끝 자리 수만 ...1씩 줄어드는데 9의 숫자가 하나 늘면 k의 열 배의 효과를 내기 때문에 얼마든지 k-1<k×0.99...9인 유한소수 0.99...9를 만들 수 있다.

따라서 0.999...≠1이면 어떤 유한소수 0.99...9에 대해 0.99...9>0.999...란 결론이 나온다. 여기서 양변에 10^k를 곱하면 99...9>99...9.999...가 되어 0>0.999...가 된다.

0.999...=1이면 이런 문제는 깨끗이 사라지고 이 명제는 참이다.

모든 순환소수는 유리수란 걸 받아들일 수 있다면 이렇게만 이해해도 상관없다고 할 수 있다. 그러나 논란의 여지를 줄이기 위해 좀 더 나아가겠다.

실수 범위에서의 증명

실수 범위에서도 따져 보겠는데, 그러기 위해 우선 유리수를 실수로 확장하는 과정을 개략적으로 설명하겠다.

점화식 a_1=1, a_{n+1}=a_{n}/2+1/a_{n}으로 나타나는 수열을 차례로 계산해 보면 {1, 1.5, 1.416..., 1.414215..., 1.414213..., ...}로 진행하는것을 알 수 있다.

모든 항이 유리수지만, 실제로 이 수열은 x^2=2의 양수인 해 z로 점근한다. 그러니까 수열이 진행되면서 자연수 n이 커질수록 z-a_{n}의 절댓값이 0을 향하고 있다는 뜻이다.

그런데 z을 그저 한 자리씩 늘려 쓴 {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...}도 그렇고 이렇게 z로 점근하는 수열은 무수히 많을 것이기에, 이 수열들을 모은 그 자체를 √2란 수로 '정의'할 수 있다.

모든 항이 유리수인 모든 수열이 점근하는 모든 값들을 각각의 실수라고 하는 것이다. 이제 비로소 '점근'을 '수렴'으로 바꿔 부를 수 있고, 위의 과정은 곧 그 유명한 극한의 정의인 엡실론-델타 논법으로 정착된다.

첫 번째 증명

이 정의를 따르면 실수 자체가 수열의 극한값이라고 할 수 있으므로 고등학교 때 배우는 증명인 다음과 같은 설명이 가능한 것이다.

0.999...=9/10+9/100+9/1000+...=∑_{n=1}^{∞} 9/10^{n}=1

직관적으로, 실수는 수열의 극한값이 되는 빠진 점들을 채운 것이므로 모든 항이 실수인 모든 수렴하는 수열의 극한값도 실수이다.

두 번째 증명

따라서 다음과 같이 실수에 대해서도 아르키메데스 성질이 성립한다. 이를 통해 모든 두 실수 사이에는 적어도 하나의 유리수가 존재함을 증명할 수도 있다.

아르키메데스 성질. 모든 0보다 큰 실수 x에 대해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 실수 y보다 크게 만들 수 있다. 수식으로 표현하면, nx≥y인 n이 존재한다.

증명. 명제가 거짓이라면 어떤 0보다 큰 실수 x는 암만 큰 자연수 n을 곱해도 어떤 실수 y보다 작아야 한다. 수식으로 표현하면, nx<y이어야 한다.

물론 y가 0보다 크지 않다면 애초에 x보다 작으므로 따져 볼 필요도 없다. 그러니까 y가 양의 실수인 경우만 고려하면 된다.

자연수 n이 커지면 nx도 커지는데 y보다 작다면 {x, 2x, 3x, ...}와 같은 수열은 y보다 크지 않은 어떤 값에 수렴할 것인데, 이 값을 c라 하겠다.

어떤 큰 자연수 k에 대해서 kx가 c-x보다 크다고 하면 (k+1)x는 c보다 크므로 nx는 언젠가 c보다 큰 값을 가진다. 수열은 수렴하지 않고 이 명제는 참이다.

이제 유리수에서와 같은 논리로 실수 범위에서도 0.999...=1이 증명된다. 유리수 범위에서의 증명에서 '유리수'를 '실수'로 바꾸기만 하면 된다.

세 번째 증명

본래 무한급수의 뺄셈을 함부로 해서는 안 된다. 위의 항목에도 언급된 중학교 때 배우는 가장 기초적인 증명이 엄밀성이 부족하다고 알려진 이유이기도 하다.

　　1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...=ln2

-)　1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+...=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+...=(ln2)/2

　　0?　　　　　　　　　　　　　=(ln2)/2

두 무한급수는 모든 항이 유리수이고 실수로 수렴하지만 함부로 연산할 수 없다. 무한급수의 뺄셈을 통한 0.999...=1의 증명이 틀렸다는 게 아니라, 그 방법의 타당성을 검증하려는 것이다. 그런 고로 다음 명제를 소개하는 것으로 마친다.

명제. ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|이 수렴하면, ∑_{n=1}^{∞} a_{n}은 다르게 배열해도 같은 값에 수렴한다.

증명. 다르게 배열한 순서는 원래 순서의 자연수 n에서 함수 f(n)으로의 일대일 대응으로 볼 수 있다. 어떤 큰 자연수 N에 대해서 f(1), f(2), ..., f(N)들 가운데 제일 큰 것을 M이라고 하겠다.

a_{n}의 모든 항이 양수라고 하면 다르게 배열한 수열은 a_{f(n)}으로 쓸 수 있고, f(1), f(2), ..., f(N)은 1, 2, ..., M에 포함되어서 a_{f(1)}+a_{f(2)}+...+a_{f(N)}은 a_{1}+a_{2}+...+a_{M}을 넘을 수 없다.

원래의 순서는 다르게 배열한 순서의 자연수 n에서 함수 g(n)으로의 일대일 대응, 그러니까 역함수 f^{-1}(n)로 볼 수 있다. 그러면 a_{g(1)}+a_{g(2)}+...+a_{g(N)}은 a_{1}+a_{2}+...+a_{M}을 넘을 수 없다.

그런데 |a_{n}|이 수렴하므로 원래의 무한급수든 다르게 배열한 무한급수든 어떤 값보다는 작아야 하고, 그런 제한이 있는 이상 a_{n}은 모든 항이 양수인 급수의 합과 차로 나눌 수 있으니 이 명제는 참이다.

틀린 부분이나 부족한 부분이 있다면 보충해 주기를 바란다.

그렇다면, 0.999...≠1일 수는 없을까?

사실은 필요에 따라 0.999...≠1인 수 체계를 고안해도 상관없다.[1] 수학은 의외로 자유로운 학문이다.

물론 이렇게 구성한 수 체계는 보통의 실수라고 부를 수는 없고, 실수를 대체할 만한 학문적인 가치를 찾기도 요원하다.

결국 0.999...=1이 된 것은 수 체계가 '인류에게 쓸모 있는' 방향으로 자연수에서부터 자연스럽게 확장된 결과일 뿐이다.

그렇기에 실수 체계가 직관에 꼭 맞을 거라고 착각할 필요도 없는 것이다. 실수든 허수든 실체가 없는 추상적인 개념이다.

문과충들의 발악

아래는 위의 증명에 딴지를 걸다 씹털리고 닥버로우한 문과충들을 박제해 놓은 공간이다.

왜 블랙넛100을 99.99..라고 쳐도 안나오죠?

씹새들아?

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주의. 이 문서는 존나 재미없는 것에 대해 다룹니다. 이것 때문에 갑자기 분위기가 싸해져도 디시위키는 PPAP를 추면서 등장해 주지 않습니다.

지랄하고, 자빠졌네! 이 문서나 이 문서에서 설명하는 대상은 현재 병신들이 말도 안 되는 개지랄을 떨고 있습니다. 정상인들은 한시라도 빨리 이 문서를 정리하여 주십시오.

ㄴ왜 0을 치면 니 엄마가 안나오죠?

니 애미랑 네 애미는 틀리다라는 소리하는 빠가충

9를 무한개 쳤어야지 븅신아

왜 블랙넛 100을 블랙넛 1000/10 이라고 치면 안 나오냐 빡대가리야?

문과충의 현상 분석

이 병신같은 일은 무한과 유한도 구분못하는 병신들이 0.9999...를 끝에 9를 달아서 0.9999...9로 지 꼴리는 대로 생각해서 생긴 일이다. 병신새끼들아!!

무한히 팽창하는 우주 전체에 아무리 작게 9를 써넣어도 0.99999...는 다 써넣을 수 없는 수라고!!

따라서 10을 곱하던 뭐하던 영원하다.

한심하다. 이과충들은 이런거나 배우니까 정신머리가 글러먹게 된것이다. 헛소리나 지껄이는 이과충들은 델포이신전의 명언 '너 자신을 알라'로 정29현 해야한다. ㅇㅈ?어 ㅆㅇㅈ

뭐라고 지껄이는거야 똘빡이 새끼가

저 위에 '한심하다'로 시작하는 문과충 새끼는 너 자신을 쳐알고 빨리 자살시급이다.

결과

소수의 배타성애자를 포함한 이과생들이 학술적인 접근을 통해 질문에 대한 답을 설명하려 했다. 하지만 그 적극적인 자세에 자극을 받은 일부 문과생들의 고의 트롤링과 진짜 빠가라 무한의 개념 자체를 이해못하는 무지한 몇몇, 그리고 병신코스프레에 심취한 제3세계 똘빡들에 의해 서로를 벌레라 칭하는 데까지 이르렀고, 결국 문서 자체가 오염되고 말았다.

영쩜구땡이 일이라는 것에 대해 의문을 던진 것은 아무래도 좋았다. 이 난장판은 질문하는 쪽이 들을 자세가 갖춰지지 않았던 것도, 질문받은 쪽의 역량 부족도 아니었던 것이다. 사실 그게 1인지 아닌지는 상관없었다, 이 모두가 분쟁을 사랑하는 디씨인의 축제였을 뿐.

다만 이 문서의 외부 유출로 디씨히키들의 대외적인 이미지는 단순병신이 아닌 중증 돌대가리들로 굳어졌다.

혹시 있을지 모르지만 진짜로 궁금한 애들은 네이버캐스트나 대중서적을 찾아보자.

지나가는 문과충 의견

1=0.9999999...

0=0.000000....1

0= n→∞ (10)ⁿ/1

0=0 (참)

ㅇㅋ?

ㄴ끝이 1이 안 나온다니까요 2016아?

ㄴ 0.000...1에서 .이 무한개라고 저 끝에있는 추상적인거지

ㄴ지랄마 그럼 그냥 ...으로 끝내야지 문과충새끼야

ㄴ(10)ⁿ/1 이거 일분에 십의n제곱이니냐 문과충아

ㄴ .이 무슨 무한 개로 추상적이냐 뒤에 1을 찍었다는건 언젠가 . 말고 1이 나온다는 소리잖아 그냥 ...으로 끝내야지 시발

지나가던 의견

1/3 = 0.3333...

(1/3)*3 = 0.9999...

1 = 0.9999...

ㄴ병시나 그건 수렴값이잖아.1/3에 가까워지는 것이지 1/3자체가 아님. 고딩인데도 이딴 ㅈ논리를 시전했다면 멍좀때리지 마시길....

ㄴ지랄 이게무슨수렴값이야

ㄴ 0.333.... 자체가 1/3이 아니고 1/3이라는 수치에 가까워지는 거다 바보야.

이 증명 0.999...에도 있다.

확고한 반론

극한(수학)

나무에도 이정도는 써있다.

뭐가 반론이냐.. 그리고 이건 실수라는 수의 성질에 관련된거라 굳이 극한 들고 올 필요없다.

ㄴ극한으로 0.99=1이라고 주장하는 병신들을 위해 만든 문단이다.

공돌이의 정리

중2 수학떄 배웠듯이일단 0.99999999.......는 순환소수라는것으로 같은 숫자가 반복된다 순환소수는 정수가아닌유리수로 무리수가 아님 따라서 모든 순환소수는 유리수로 0.99999......라는 문과충의 답은 틀렸다 일단 1이 되는 이유는 1.0.999999....를 반올림하면 1이된다 2.x=0.9999999.....

10x=9.9999999.....
10x-x=9.9999999.....-0.9999999.....
9x=9
x=1

3.0≤x-{a(1)/10+a(2)/10²+ … + a(n)/10ⁿ} < 1/10ⁿ 0.9/=9/9 따라서 1

마지막으로 0.9999...는 0.99999..... 와 1사이에는 틈이 없기에 1이 답임

지나가던 병신

!!

저능한 나의 마리속 증명은 다음과 같다
0.9=1-0.1=1-1/101
0.99=1-0.01=1-1/102
즉 소숫점 이하의 9의 개수는 10의 지수의 수와 같다

0.9....i개는 1-1/10^i 단 i는 자연수

안타깝게도 f(i)=1-1/10^i 함수는 전 실수 구간에서 연속이지만 i가 자연수라면 연속함수가 아니다.

그러나 i가 증가함에 따라 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999로 1에 점점 수렴하는것을 알수 있다 함수 f (i)의 그래프를 x축의 단위를 전나게 크게 잡는다면 함수f (i)는 연속 함수로 취급할수 있을 것이다

lim 1-1/10^i=1  소숫점 이하의 9의 개수가 무한개라면 0.9999....=1이다

i-00

는 자살 데헷ㅋ

일반인의 시선

지랄하고, 자빠졌네! 이 문서나 이 문서에서 설명하는 대상은 현재 병신들이 말도 안 되는 개지랄을 떨고 있습니다. 정상인들은 한시라도 빨리 이 문서를 정리하여 주십시오.

어이가 없네..? 이 문서를 읽다 보면 어이가 없어 말문이 막히고 치가 떨립니다. 영원히 말문이 막혀 벙어리가 되지 않게 뒤로가기를 누르시는 것을 추천합니다. 어이구, 아 이게 지금 뭐하는 거야?

무한에서 무한을 빼면0아니냐 1-1=0 (무한)=x라고 가정하면 x-x=0 맞잖아

ㄴ 무한을 정확한 수치로 어떻게 쟤고 그걸 또 사칙연산에 어떻게 적용할래?

그리고 1=0.999.... 증명하는데 난데없이 무한빼기 무한 얘기는 왜나오는데. 1이 무한이냐ㄷ.

얘는 문레기도 아니고 걍 병신인 듯.

극한은 고1때 배운다. 문과 이과 상관없이 0.99...=1을 부정한다는 것은 고등학교도 안 나온 새끼라는 뜻이다.

ㄴ 얘는 뭔 개소리야. 너는 미적분 고1때 배우니. 그리고 요즘 수학교사들도 극한으로 0.99...=1 운운하면 상바보 취급한다 병신아. 그냥 숫자랑 한없이 가까워지는 수랑 똑같냐?

ㄴ 0.333... = 3/9

0.999... = 9/9 = 1

ㄴㄴ 웬 뚱딴지.

메퇘지의 시선

7번방의 선물은 사실 6.99999..번 방의 선물이다 6.9 재기해~