√2: 두 판 사이의 차이

2022년 2월 10일 (목) 05:33 판

이 문서는 무리수를 다룹니다.
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수학에서 다루는 무리수에 대해 다루고 있을수도 있습니다.

주2! 2 문서는 콩에 관한 것을 다룹니다.
지나친 드립은 노잼2 되니 豆 번만 칩시다. 지나친 드립은 노잼2 되니 豆 번만 칩시다.
어? 왜 豆 번 써져요? 어? 왜 豆 번 써져요?
야 쓰레기 작은 고추의 매운 맛을 보여주마! 폭풍저그 홍진호가 간다!
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수학 상수
$0$ (덧셈의 항등원)	$1$ (곱셈의 항등원)	$2$ (가장 작은 소수)	$\sqrt 2$ (최초로 증명된 무리수)	$i$ (허수 단위)
$π$ (원주율)	$e$ (자연로그의 밑)	$δ, α$ (파이겐바움 상수)	$φ$ (황금비)	$G$ (카탈랑 상수)
$γ$ (오일러-마스케로니 상수)	$γ n$ (스틸체스 상수)	$Ω$ (오메가 상수)	$2 \sqrt 2$ (겔폰트-슈나이더 상수)	$B 2, B 4$ (브룬 상수)

개요

최초로 증명된 무리수다. 피타고라스 학파에서 이걸 주장하면 코로 올리브유를 마신다더라.

제곱하면 2가 되며 소수점으로 나타내면 1.4142135623... 등이 나온다. 근삿값으로 99/70이 나온다고 한다.

특징

한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이와 같다. 방정식 $x 2 =2$ 의 양수 해이다.

고대 그리스인 보다 바빌로니아인이 먼저 무리수의 존재를 알아챘다더라.

무리수 증명

귀류법^[1]으로 증명해보이겠다.

√2가 유리수라고 가정하자

그렇다면 유리수의 정의에 의해 √2 = n/m을 만족하는 서로소^[2]인 두 정수 m, n이 존재한다. ㉠

√2를 제곱하자.

√2을 제곱하면 2이다. ㉠에 의해 2 = n²/m²을 만족한다. ㉡

㉡을 다시보자. n²이 2의 배수여야 한다. 즉 n은 2를 인수로 가지고 있다.

n이 2를 인수로 가지고 있다면, n²은 2²을 인수로 가지게 된다. 그렇다면 ㉡식을 만족시키기 위해 m또한 2를 인수로 가지고 있어야 한다. 결론적으로 m과 n은 2라는 공약수를 가지게 된다. 이는 ㉠에서 m, n이 서로소라는 가정에 모순이다. 즉, 2는 유리수가 아니다.

이 세상의 모든 것이 완벽히 숫자로 이루어졌다고 주장하는 피타고라스학파에게 유리수가 아닌 어떤 수(당시로선 적을 수 없는 수)가 존재한다는 것은 큰 반향을 일으켰다.

↑ 어떤 명제가 참임을 가정한 후 모순을 이끌어내 명제가 거짓임을 보이는것
↑ 1을 제외한 공약수가 없는 것

[1] 어떤 명제가 참임을 가정한 후 모순을 이끌어내 명제가 거짓임을 보이는것

[2] 1을 제외한 공약수가 없는 것

[1]

[2]

@@ 30번째 줄: / 30번째 줄: @@
 결론적으로 m과 n은 2라는 공약수를 가지게 된다. 이는 ㉠에서 m, n이 서로소라는 가정에 모순이다. 즉, 2는 유리수가 아니다.
-모든 것이 완벽히 숫자로 이루어졌다고 주장하는 피타고라스학파에게 유리수가 아닌 어떤 수(당시로선 '''적을 수 없는 수''')가 존재한다는 것은 큰 반향을 일으켰다.
+이 세상의 모든 것이 완벽히 숫자로 이루어졌다고 주장하는 피타고라스학파에게 유리수가 아닌 어떤 수(당시로선 '''적을 수 없는 수''')가 존재한다는 것은 큰 반향을 일으켰다.
 [[분류:수학상수]]