약수와 배수

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Divisor & Multiple/ 約數 & 倍數

개요

중딩 수학에서 다루는 내용 중 하나. 약수는 어떤 수를 나누었을 때 나머지가 0이 되는 수며 배수는 어떤 정수의 ‘정수 배’가 되는 정수를 뜻한다.

약수

성질

• 어떤 자연수 n에 대하여 n=a^p×b^q×c^r×...일 때, n의 약수를 소인수분해하면 n=a^p'×b^q'×c^r'×... (0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r...)의 꼴로 나타낼 수 있다.
• a가 b의 배수이면 b는 a의 약수이다.
• y가 x의 약수이고 z가 y의 약수이면 z는 x의 약수이다. 예를 들어 12는 36의 약수이고 3은 12의 약수이므로 3은 36의 약수이다.
  x=a^p×b^q×c^r×...이면 x의 약수 y는 y=a^p'×b^q'×c^r'×... (0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r...)의 꼴로, y의 약수 z는 z=a^p"×b^q"×c^r"×... (0≤p"≤p', 0≤q"≤q', 0≤r"≤r'...)로 나타낼 수 있고, 이때 0≤p"≤p, 0≤q"≤q, 0≤r"≤r...이기 때문이다.
• 큰 수 일수록 약수의 개수는 많아진다. 그런만큼 공약수 찾기가 지랄같을 때가 있다.
• A₁|B, A₂A₂|BB일때, 적어도 A₁, A₂중 하나는 ^B √보다 작거나 같다.

다항식에서의 약수

다항식이 인수분해가 가능하면 나타나는거. 복소수도 있는데 허수는 보통 약수로 취급안함. 실수만 취급하더라.

(x²−1)의 약수는 1, (x+1), (x−1), (x²−1)다.

약수의 개수

자연수를 소인수분해하였을 때, 각 소인수의 지수에 1을 더한 수들을 곱한 값이다.

6의 경우 2¹×3¹이므로 약수의 개수는 (1+1)×(1+1)=4다. 고로 6의 약수 갯수는 4개(1, 2, 3, 6)다.

고로 자연수를 찢어발긴 모습이 a^p×b^q×c^r×...라 하면 약수 갯수는 (p+1)×(q+1)×(r+1)×....개이다.

약수의 합

이 역시 소인수를 이용해 구할 수 있다. 어떤 자연수 n을 소인수분해한 결과가 a^p×b^q×c^r×...라 하면 모든 약수의 합은 (1+a+a²+...+a^p)×(1+b+b²+...+b^q)×(1+c+c²+...+c^r)×... 라는 식으로 구할 수 있다.

공약수

자연수의 약수를 쭈루룩 나뉘었을 때 공통으로 들어가 있는 숫자들을 말한다.

최대공약수

문서 참조.

약수 목록과 개수

1에서 부터 50까지 나열해보셈.

• 목록 - 'n = n₁, n₂, n₃,...'라고 표기.
  • 1 = 1
• 개수 - 'n의 약수는 n개.'라고 표기.
  • 1의 약수는 1개.