자연수

개노잼 드립

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자연에 존재하는 물이다.

약수,지하수가 이곳에 속한다

진짜 자연수에 대한 거

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• 상위문서: 수 체계

개요

“

0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ......

”

너가 처음에 배우는 숫자. 모르면 개씹쌍병신이다. 보통 대상의 개수를 셀 때 나오는 수를 말한다. 자연수의 집합은 영어 Natural number의 첫 글자를 따와 N이라고 쓴다.

대상의 수를 세는 것이 수학의 출발이니만큼, 수학의 탄생을 상징하는 가장 기본적인 개념이다.

보통 0을 자연수로 취급하지만 취급하지 않기도 한다. 하도 많이 쓰여서 말이지....

어느 문과충의 부들부들

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└ 헛소리 자제 하도많이 쓰인다고 0이 자연수라니 미친소리하네 수학다시배워라

ㄴㄴ현대대수학에선 0도 자연수 취급한다 등신아 빈 수레가 요란하다

자연수의 수학적 정의

후임자 집합이라는 successor set을 먼저 정의해야됨.

집합 S 가 있으면 그 후임자를 S+=S U {S} 로 씀

그러면 S 하나 던져주면 그다음놈까지 저거로 정의된다.

자연수는 저 S 자리에 공집합을 집어넣으면 된다.

그리고 공집합에 0이라고 이름을 주고 그 뒤로 1,2,3,4,5,.... 식으로 부르는거지

페아노 공리 뒷부분 더있는데 어차피 못알아 처먹을거잖아? 그니깐 여기까지만 쓴다.

자연수의 계산

덧셈

위 설명생략한 공리들과 자연수에서의 덧셈은 덧셈이 가지는 가장 기본적인 성질들을 추려서, 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

(A1) 임의의 자연수 n에 대하여 n+1 = n+1=n+

(A2) 임의의 자연수 m,n에 대하여 m+n+=(m+n)+

이게 끝이다. 사실 이런 식으로밖엔 자연수의 덧셈을 제대로 정의할 수 있는 방법이 사실상 없다. 하지만 이런 정의와 페아노 공리, 특히 다섯 번째 공리(수학적 귀납법)이 만나면 우리가 아는 모든 게 다 튀어나온다.

일단 결합법칙, 교환법칙, 그리고 소거법칙이 금방 나온다.

고로 1+1를 존나 손쉡게 증명할 수 있다.

여기서 1 대신 0으로 시작하는 경우, (A1)은 이렇게 바꿔야 한다.

(A1) 임의의 자연수 n에 대하여 n+0 = n+0=n

뺄셈?

A-B=C

뺄셈은 대충 보면 자연수 대소를 비교했을 때 큰거에서 작은 것을 빼는 거라고 하지만 실상은 양의 정수와 음의 정수를 더한거라고 한다.

곱셈

덧셈이랑 비슷하다.

(M1) 임의의 자연수 n에 대하여 n×1=n.
(M2) 임의의 자연수 m,n에 대하여 m×n+=m×n+m.

덧셈과 마찬가지로 0부터 시작하는 경우 (M1)은 다음과 같이 바꿔야 한다.

(M1') 임의의 자연수 nn에 대하여 n×0=0.

자연수의 대소 관계

두 자연수 a,b에 대하여 어떤 c가 존재해 a=b+c가 성립한다면, a>b이다.

그러하다.