자연상수

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개요

말 그대로 자연 상수다

자연적인 것을 수학적으로 분석할 때 거의 항상 나오는 상수로써 영어로는 e라고 쓴다

상세

무리수이기 때문에 십진법으로 딱 떨어지지 않고 근삿값만 구할 수 있는데, 값은 e=2.71828182... 이며 그냥 문제 풀 땐 2.71로 계산하거나 계산하지 않고 파이처럼 e로만 표현한다. 착한 공돌이는 2.718까진 외우자.

구하는 방법은 테일러 전개해서 무한히 더하면 된다.

자연 상수를 밑으로 하는 로그를 자연 로그라 한다.

원주율 다음으로 접하는 무리수 중 하나이며 파이, 0, 1, 허수 단위 i와 함께 수학적으로 중요한 상수 중 하나이기도 하다.

고등학교 과정에선 통계에서 정규분포곡선의 식에서 처음 등장하며

대학교에선 공대에선 항상 보여지는 상수 중 하나. 공대에서는 e없으면 계산이 안 되며, 밑이 없는 log는 그냥 ln(밑이 e인 로그)으로 본다.

수학책에서는 '자연대수란 1에 수렴하는 값을 무한히 제곱한 값' 정도로 설명이 되어 있을 것이다.

이를 수식으로 표현하자면 극한을 표기, x→∞ ; (1+(1/x))^x 혹은 x→0 ; (1+x)^(1/x) 이 되며, 보통은 간단하게 e라는 기호를 사용한다.

사실 어떤 개념인지 이해만 한다면 초딩도 어떤 식으로 계산하는지는 이해할 수 있다. 근데 그건 고등수학 대부분의 개념이 다 그렇다.

(1+(1/10))¹⁰=1.1¹⁰≒2.5937424601
(1+(1/100))¹⁰⁰=1.01¹⁰⁰≒2.704813829
(1+(1/1000))¹⁰⁰⁰=1.001¹⁰⁰⁰≒2.716923932
…
(1+(1/10³⁰))¹⁰³⁰≒2.718281828
(1+1/∞))^∞에 수렴하는 값=e=2.718281828........

그러니까 위의 1.1, 1.01, 1.001 식으로 작아지는 게 1에 수렴하는 값이고 무한히 제곱한다는 것은 거듭제곱의 숫자가 똑같이 10, 100, 1000 식으로 늘어난다는 뜻이다.

물론 (1+1/∞))^∞ 자체는 아니고 (1+1/∞))^∞에 무한으로 수렴하는 값이다.

e는 활용도가 높아 상용로그 log₁₀을 ₁₀을 생략하고 log로 표기하듯

log_e는 자연로그 ln으로 표기된다. 상술했듯 공과에서는 밑이 없는 log x = ln x이다.

정의

이 식을 테일러 전개하면 이런식이 나온다

극한식이 아닌 급수식으로 표현하면 이런식이 나온다

급수 식을 전개하면 이러한 식이 나오는데

무리수이기 때문에 항은 무한히 나올 테고 다 더할 순 없으니 적당히 몆 번 전개해서 더하면 근삿값 2.718... 가 나온다

e의 성질

1. lim x->0에서, ((e^x-1)^x)=1 이다.

2. 함수 f(x)=e^x를 x에 대해 미분하면 f`(x)=e<sup>x</sup>으로 f(x)와 f`(x)은 같다.

3. lim x→∞일 때 (1+x)^(1/x)=e 이다.

그 외 - 당연하지만 ln e=1이며, 상수이기 때문에 e를 미분하면 0이 나온다.

이과들은 고등학교 다닐 때 죽어라 외웠을 텐데 ln x는 미분하면 1/x이 나온다. 이유는 그냥 기하 직관적으로 그래프 개형으로 봐도 되고 증명 방식은 귀찮으니 도함수의 정의를 이용하면 된다는 것만 적어야겠다 ㅎㅎ

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사실 상용로그 log₁₀의 10을 생략하고 log로 취급하는 건 (다시 말해서 log(x) = log₁₀(x) 취급하는 것) 잘못된 거다.

로그함수의 정의는 다음과 같다.

한 마디로 y = 1/x 의 그래프와 x축 사이, x=1부터 임의의 x(>0)까지의 면적이 log(x)의 정의라고 할 수 있다. 보통 다들 ln(x)로 알고 있지.

예를 들어서 log(2)는 1/x와 x축 사이의 x=1부터 2까지의 면적이다.

울프람알파에서 tan(x)를 적분하면 -ln(cos(x))가 아니라 -log(cos(x))가 나오는 이유가 여기에 있다.

또한 tan(x)의 적분값의 정확한 답이 -log(|cos(x)|)인 이유도 이 정의 때문이다. 로그의 정의 자체가 정의역을 양의 실수로 묶어 놓고 있거든.

(구글에서는 log와 ln을 구분하지만 울프람알파에서는 구분하지 않는다)

위의 그래프를 보면 알겠지만 log(2) = 0.301... 이 아니라 0.69... 임을 알수 있다. 울프람알파에 log(2) 치면 0.69...라고 나오는 게 이 정의 때문.

너네가 알고있는 0.301...이라는 값은 log(2)(=ln(2))를 log(10)(=ln(10))으로 나눈 값이다.

즉, log_10(x) 같은 상용로그는 log(x)/log(10)다. ln을 이용해서 나타내면 log_10(x) = ln(x)/ln(10)가 된다.

여기서 우리는 log_a(x) 같이 베이스가 a인 상용로그가 주어졌을 경우, 베이스 a는 로그의 정의에 의해 반드시 (1을 제외한) 양의 실수여야 한다는 점을 알 수 있다.

1대100에서 이런 문제가 나왔었다. 발문이 "값이 끝이 있는 것은?"이고 보기로 원주율, 루트2, log100이 주어졌는데 답이 3번이었다.(문제 분위기상 소수점 자릿수가 무한대가 아닌 것을 찾으라는 뜻) 그런데 위 내용에 의하면 이 문제는 답이 존재하지 않는 오류 문제가 된다. 출제자가 문과 출신이었나 보다.

로그함수의 정의에서 지수함수인 exp(x) (e^x)가 나온다. 로그는 일대일대응 함수이기 때문에 역함수가 존재하는데, 그 역함수가 지수함수의 정의다. 즉,

exp(x)의 정의역은 모든 실수다. 그리고 모든 실수 x에 대해 e^x := exp(x)로 정의한다.

따라서 우리가 알고 있는 자연상수 e는 e := exp(1)으로 정의된 것이다. 한 마디로, log(x) = 1일 때의 x값을 e로 정의한 것이다.

더 쉽게 이야기하면, 1/x와 x축 사이의 x=1부터 e까지의 면적은 1이라는 것.

그렇다면 왜 e^iπ + 1 = 0 이 성립하냐고 물어볼 수도 있는데 이건 복소수 배울 일이 있다면 그 때 가서 배워라. 유튜브 찾아보면 사람들이 설명해놓은 거 많다. 간단히 복소 차원에서의 크기와 방향을 iπ가 나타내는 것이라고만 설명하겠다.

참고로 만약 a가 양의 실수라면, 모든 실수 x에 대해 a^x를 다음과 같이 정의한다:

a^x := exp(xlog(a)) = e^(xlog(a))

(a<0 이라면 a^x = ((-1)^x)((|a|)^x))

log_10(x) = log(x)/log(10) = ln(x)/ln(10)에 대한 증명:

log_10(x)을 x = 10^(log_10(x))라는 식을 만족하는 수라고 정의하자. 먼저, x = 10^{(log₁₀(x))} > 0 이고 a^x := exp(xlog(a))이기 때문에

우리는 Y = log_10(x)라면 x = 10^Y = exp(Y * log(10)) = exp(log_10(x) * log(10))임을 확인할 수 있다.

이를 양변에 로그를 씌워 log(x) = log(exp(log_10(x) * log(10))) = log_10(x) * log(10)를 유도하고,

여기서 양변을 다시 log(10)으로 나눠주면 log(x)/log(10) = log_10(x)임이 확인된다. 위의 적분 정의에 따라 log(x) = ln(x)다. QED.

또, 모든 실수 x에 대해 d/dx e^x = e가 성립하는 이유는

1. log(x)가 양의 실수에서만 정의되어있기 때문에 exp(x)는 모든 실수 x에 대해 언제나 양의 실수이고 (∀x∈ℝ: exp(x) > 0),

2. d/dx e^x = exp`(x) = (log<sup>-1</sup>)`(x) = 1/(log`(log^-1(x))) = 1/(1/(log^-1(x))) = log^-1(x) = exp(x) = e^x이기 때문이다.

("f가 어떤 구간에서 연속적인 일대일대응 함수라 하자. f가 f^-1(b)에서 미분 가능하고 f`(f^-1(b)) != 0 이라면,

f^-1 역시 b에서 미분 가능하며 (f^-1)`(b) = 1/(f`(f^-1(b)))가 성립한다"는 정리를 이용해야 한다.)

lim_x→∞ ; (1+(1/x))^x = e인 이유도 어렵지 않게 풀린다. (1+(1/x))^x = exp(xlog(1+(1/x)))가 성립함을 일단 알아두자.

x→∞ 이므로 충분히 큰 x는 1+1/x > 0 이면서 x != 0 를 둘 다 만족하기 때문이다.

또 exp 안에 있는 것만 뽑아서 lim_x→∞ ; xlog(1+(1/x)) = lim_x→∞ ; log(1+(1/x))/(1/x) 로 재정렬할 수 있다.

여기서 로피탈의 법칙을 쓰면 lim_x→∞ ; log(1+(1/x))/(1/x) = 1 이라는 결과가 나온다.

exp(x)는 모든 실수 x에서 미분가능 => 연속적이고, lim_x→∞ ; xlog(1+(1/x))가 존재하므로

lim_x→∞ ; (1+(1/x))^x = lim_x→∞ ; exp(xlog(1+(1/x))) = exp(1) = e가 성립한다.